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Game Theory

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참여자의 행동이 전체에 영향을 미치지 않는다는 전제의 완전 시장과 달리 게임이론은 참여자의 의사 결정이 환경에 영향을 준다.

완비 정보 게임

동시 게임

동시 게임은 player, strategy, and return 으로 구성되며, payoff matrix로 표현한다.

  1. 지배 전략을 가진 경기자는 그 전략을 선택한다.
  2. 모든 경기자에게 지배 전략이 있을 때에는 모든 경기자가 그 지배 전략을 선택한 조합이 게임의 해가 된다.
  3. 한쪽 경기자에게 지배 전략이 존재하고 다른 쪽에게는 없을 경우, 지배 전략이 있는 경기자는 그 전략을, 다른 경기자는 상대의 지배 전략에 대응하는 가장좋은 전략을 선택한다.
  4. 동시 게임의 해는 서로가 가장 좋은 전략을 선택하는 내쉬 균형이다.

내쉬 균형이 존재하지 않는 동시 게임에서는 확률적으로 전략을 선택하는 혼합전략이 내쉬 균형이 된다.

순차 게임

순차 게임은 game tree를 사용해 표현하며, Backward Induction으로 해를 찾는다

  1. 게임이 끝나기 직전의 의사 결정 node를 생각하며 그 경기자에게 최적인 선택을 찾는다.
  2. 모든 branch가 그 전까지 푼 의사 결정 node나 종결 node로 이어지는 의사 결정 node를 생각하며 (그 이후로 있을 최적의 선택을 고려하여), 그 경기자에게 최적인 선택을 찾는다.
  3. 이 과정을 모든 경기자의 선택이 정해질 때까지 반복한다.

제로섬 게임에서 최소 극대화 (mini-max) 전략은 내쉬 균형이 된다.

경매 경쟁

공개 경매: 영국식(상향), 네덜란드식(하향) 밀봉 입찰: 경쟁 입찰, 제 2가격 입찰제 상대방의 평가액을 알 경우 위 경매 경쟁의 해는 모두 두 번째 높은 평가액이 된다.

인터넷 경매: 새 입찰가

  • 최고입찰가 이하: 최고가 입찰자 동일, 현재 가격이 새 입찰가+1 호가로 경신
  • 최고입찰가와 동일: 최고가 입찰자 동일, 현재 가격이 새 입찰가로 경신
  • 최고입찰가 이상: 최고가 입찰자 변경, 현재 가격이 기존 최고가 + 1 호가로 경신. 모든 사람이 자신의 평가액을 입찰하는 것이 인터넷 경매의 해가 된다.

죄수의 딜레마

상대의 협력 유무와 관계 없이 협력하지 않는것이 유리, 그러나 둘 모두 협력하지 않으면 상호 협력시보다 더 안 좋은 결과. 죄수의 딜레마는 비 협조시에 벌칙을 부과함으로 게임을 바꿔 해결할 수 있다.

유한 반복 게임은 Backward Induction 에 의해 이전 선택과 관련 없이 항상 비협력이 우월전략이므로 죄수의 딜레마를 해결할 수 없다. 무한 반복 게임의 return은 무한등비급수 합으로 계산할 수 있다. where is a return (), is the sum of all discounted returns, is a discount factor.

교섭

한 번의 제안과 그 승낙 여부로 교섭이 끝나는 최후통첩게임 에서는 최후통첩권을 가진 player 가 유리하다.

graph LR
    A1((A)) -- "제안" --> B((B))

    B ==> S2([승낙])
    B ==> F([거부, 결렬])

두 번의 제안으로 구성되는 상호제안게임에서는 할인율이 높으면 (미래 금전 가치가 낮으므로) 교섭력이 약해진다.

graph LR
    A1((A)) -- "제안" --> B((B))
    
    B -- "거부, 제안" --> A2((A))
    B --> S1([승낙])
    
    A2 ==> S2([승낙])
    A2 ==> F([거부, 결렬])

불완전 정보 게임

기대치 50은 동등한 가치가 아님. 어떤 사람에게 기대 금액이 32의 가치가 같을 경우 32은 복권과의 확실성 등가 금액이 된다.

도덕적 해이

상대의 행동을 관찰할 수 없어서 발생 (e.g. 보험에서 계약자의 주의 여부, 계약에서 계약자의 노력 여부가 결과로 확실히 이어지지 않는 불확실성과 노력, 주의 여부를 피보험, 피계약자는 알 수 있지만 보험사, 정부는 알지 못함).

역선택

상대의 속성을 관찰할 수 없어서 발생. 높은 사고율의 사람이 보험에 가입 → 보험의 전체 사고율 상승 → 보험료 인상 → 낮은 사고율의 계약자 해지 → 높은 사고율 계약자는 여전히 가입 → 반복

경기자의 속성에 불확실성이 있는 게임

  1. 하나의 정보 집합에서 한 가지의 행동이 선택됨
  2. Expected payoff를 최대화 하는 행동을 선택
  3. 게임의 해는 전략과 신념이 정합해야 함.

정보 불균형으로 인한 역선택 상황

역선택은 신호와 선별로 방지할 수 있다. 신호: 자신의 속성 차이를 행동의 차이로 알림 (e.g. 자격증) 선별: 상대의 속성을 행동으로 드러내도록 유도함. (e.g. 자기부담금)

만약 신호의 비용의 속성에 관계 없이 같다면 신호는 제대로 기능하지 않음 (e.g. 너무 쉬운 자격증).

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